Vous reconnaissez sans doute l'objet présenté en dernier à l'article précédent : un ellipsoïde. Pourtant ce ne sont que des lignes tracées sur une feuille de papier. Vous remarquerez que nous avons choisi deux couleurs et qu'elles encerclent deux points. En fait il y en a quatre mais deux sont cachés. Ces points sont remarquables pour cette surface ellipsoïdale et dépendent de ses caractéristiques, à savoir la longueur de ses axes (2a, 2b, 2c). On pourrait la mettre dans une boîte rectangulaire de côtés 2a x 2b x 2c. Vous connaissez tous le ballon de rugby qui est un ellipsoïde particulier où b=c. On dit que c'est un ellipsoïde de révolution.. Je pense que si on jouait avec un ballon où a, b, c étaient différents, le jeu serait surprenant... mais c'est une autre histoire. Si on vous donnait un ellipsoïde, en ayant pris soin de vous indiquer ces points particuliers que nous évoquions, vous pourriez tracer les lignes en tendant une ficelle avec un crayon (en M) comme indiqué sur l'image. Avec ces deux points nous pouvons tracer les lignes rouges en partie supérieure. En utilisant les points (F'1 et F'2 cachés) en partie inférieure vous traceriez les lignes rouges en partie inférieure. Si maintenant vous preniez les points F1 et F'1 (respectivement F2 et F'2) en suivant la même procédure vous traceriez les lignes bleues. Vous pourriez alors remarquer que les lignes bleues et rouges se croisent à angle droit.
Ces lignes (simples à tracer dans cet exemple) révèlent des propriétés importantes lorsque nous sommes en présence d'une surface courbe. Ce sont les lignes de courbure et l'information qu'elles fournissent à l’œil et la main sont intéressantes car elles permettent de saisir, de manière sensible, la "nature" de la surface. Rapidement, au risque d'être caricatural, nous pourrions dire que pour nos sens (visuel et tactile) elles jouent le rôle de médiateur. Ceci peut s'expliquer sommairement et simplement. Imaginez votre surface réfléchissante comme un miroir et éclairée par le soleil (rayons lumineux parallèles) le flux maximum de lumière réfléchie qui frappera votre œil se situera dans une zone où le miroir se courbera le moins (au mieux c'est le plan) c'est à dire suivant une direction qui correspond à la moindre variation de courbure. Moins la courbure sera grande plus long sera le segment sursaturé en lumière. Sur le schéma présenté ci-dessus c'est suivant une ligne rouge. C'est la raison pour laquelle sur des photographies nous voyons apparaître des segments sursaturés ou surexposés en lumière. C'est un effet recherché par certains photographes qui recouvrent leurs modèles d'huile afin de souligner certaines courbes. Ceci explique par ailleurs pourquoi sur une sphère nous voyons un disque circulaire surexposé : dans toutes les directions la courbure étant constante le segment sursaturé est égal dans toutes les directions.... donc un disque circulaire. D'autre part si nous caressons la surface nous percevons les variations de la courbure. C'est sans doute plus difficile à saisir car notre œil prend souvent la place prédominante dans notre perception mais un aveugle est certainement plus sensible au toucher et perçoit ces variations puisque c'est sa principale manière de se diriger. Mathématiquement on démontre que sur une surface, en chaque point, il y a deux directions perpendiculaires suivant lesquelles, pour l'une la courbure est minimum et pour l'autre maximum. Si on se déplace en cherchant, en chacun des points, à s'orienter suivant la courbure minimum (respectivement maximum) on suivra une courbe rouge (respectivement bleue).
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Si vous désiriez recouvrir cette surface par une feuille de papier... vous déchireriez la feuille. Elle n'est pas développable alors qu'elle est constituée de droites qui se croisent... même si elles ne sont pas apparentes sur l'image. Ici les courbes sont des paraboles. L'image ci-dessus montre comment on passe du plan à la surface présentée en premier, en conservant les lignes droites. Bien entendu la longueur des segments varie lors de cette transformation. Les fils oranges sont des élastiques. Quant à celle-ci, pas possible de recouvrir avec une feuille de papier, sans froisser (la feuille). De plus on ne retrouve plus aucune droite ....
" CECI EST UN PLAN " ... un morceau plutôt, quadrillé, tel que la perspective et la photographie nous ont habitués à le reconnaître. La géométrie projective nous a enseigné les éléments qui permettent de définir les lois ou règles de sa représentation. " CECI N'EST PLUS UN PLAN "... mais il suffirait de décôner pour retrouver le plan et son quadrillage régulier. On dit en ce cas que le CÔNE est développable. Notez que nous n'avons pas ôté notre chapeau pour décôner... ce serait de mauvais goût ! " CEUX-CI NE SONT PAS DES CÔNES "... faudrait être vraiment C .. . enfin , stupides pour confondre. Mais comme le cône ils sont développables donc réalisables à partir du plan... sans le froisser.
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AuteurArtiste plasticien et mathématicien, je ne saurais séparer les deux. ArchivesCatégories |